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Urnenmodell Beispiel Essay

Das Urnenmodell

Viele Zufallsexperimente können mit dem Ziehen von unterscheidbaren Kugeln aus einem Gefäß, Urne genannt, modelliert werden. In der Urne befinden sich n Kugeln, von denen k gezogen werden.

Das Ziehen kann auf zwei verschiedene Arten erfolgen: Eine Kugel wird gezogen und wieder zurückgelegt.
Das entspricht dem Urnenmodell mit Zurücklegen. Nach dem Ziehen der Kugel wird diese nicht wieder zurückgelegt.
Das entspricht dem Urnenmodell ohne Zurücklegen.

Viele Zufallsexperimente können auf das Urnenmodell zurückgeführt werden. Betrachten wir das Zufallsexperiment „Dreimaliger Münzwurf“, so kann man stattdessen auch aus einer Urne mit 2 verschiedenen Kugeln drei mal jeweils eine ziehen und wieder zurücklegen.


Zufallsversuche mit Urnen modelliert

Einige Beispiele sollen die Vorzüge des Urnenmodells aufzeigen.

ZufallsexperimentUrnenmodell
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei zweimaligem würfeln jeweils eine 6 zu werfen?Urne mit 6 Kugeln nummeriert von 1 bis 6.
Zweimal ziehen mit zurücklegen.
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:
In einer Klasse mit 25 Schülern haben 10 Schüler die Hausaufgaben nicht gemacht.
Der Lehrer kontrolliert zufällig einen Schüler.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erwischt er jemanden, der die Hausaufgaben nicht gemacht hat?
Urne mit 25 Kugeln.
15 weiße und 10 schwarze.
Einmal ziehen
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:
Von den 120 Schüler/innen einer gymnasialen Oberstufe am Berufskolleg mit dem Schwerpunkt Erziehungswissenschaf)sind 15% männlich.
Zwei Schüler/innen werden für die Teilnahme an einem Wettbewerb ausgelost.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zwei Schüler (männlich) sind?
Urne mit 120 Kugeln.
102 weiße Kugeln (für weiblich)und 18 schwarze Kugeln (für männlich).
Zweimal ziehen ohne zurücklegen.
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:
Ein Statistisches Institut will ermittelt haben, dass bei 53% aller Geburten das Baby männlichen Geschlechtes ist.
Wie groß ist danach die Wahrscheinlichkeit, das eine Mutter aufeinanderfolgend 2 Jungen zur Welt bringt?
Urne mit 100 Kugeln.
53 blaue (für Jungen) und 47 rosa (für Mädchen).
Zweimal ziehen mit Zurücklegen.
Gesuchte Wahrscheinlichkeit:
Möglicherweise ist nicht unmittelbar klar, warum dieses Zufallsexperiment durch zweimal ziehen mit zurücklegen simuliert werden kann.
Man kann sich das so vorstellen, das die Mutter immer mit der gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilung Kinder zur Welt bringt. Das bedeutet, nach jeder Geburt herrscht wieder die gleiche Ausgangssituation. Das wird mit dem zurücklegen der Kugel simuliert.
Eine ganz andere Situation herrscht vor, wenn man von z.B. 100 neugeborenen Kindern ausgeht von denen 53% Jungen sind. Wählt man zufällig 2 Kinder aus, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man genau zwei Jungen ausgewählt hat:

Das entspräche dem ziehen ohne zurücklegen.

Bei der Herstellung von Tongefäßen geht man davon aus das 20% Ausschuss produziert wird.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Herstellung von 3 Gefäßen genau 2 brauchbar sind?

Modell: Urne mit 8 grünen Kugeln (brauchbar) und 2 roten Kugeln (Ausschuss).
Dreimaliges ziehen mit zurücklegen.

Aus vier Personen Angela (A), Balduin (B), Christin (C), Dogan (D) werden zwei zum Geschirrspülen ausgelost, wobei eine Person abspült und eine abtrocknet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erwischt es zuerst Christin und dann Balduin?

Modell: Urne mit 4 Kugeln mit der Aufschrift A, B, C und D.
Zweimaliges ziehen ohne zurücklegen.
Hier kommt es auf die Reihenfolge der gezogenen Kugeln an.

Bei einer Verkehrszählung wurde festgestellt, dass 65% der vorbeifahrenden Fahrzeuge Pkw waren, 30% Lkw und 5% sonstige Fahrzeuge.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter drei vorbeifahrenden Fahrzeugen das erste ein Pkw, das zweite ein Lkw und das dritte ein sonstiges Fahrzeug ist?

Modell: Urne mit 100 Kugeln, 65 rote (Pkw) 30 schwarze (Lkw) und 5 weiße (sonstiges Fahrzeug).
Dreimaliges ziehen mit Zurücklegen.

Ein Spieler interessiert sich dafür, wie oft er einen Würfel mindestens werfen muss, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens eine 6 wirft.

Modell: Urne mit 5 roten Kugeln (keine 6) und 1 grüne Kugel (sechs geworfen).
n – maliges ziehen mit Zurücklegen.
abei ist die Zahl n unbekannt.

Wir wissen bereits, dass die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu werfen bei einem idealen Würfel 1/6 ist. Die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu würfeln ist 5/6. Wir definieren dazu die Ereignisse:

Das Gegenereignis von „Bei n – Würfen in jedem Wurf keine 6 zu werfen“ lautet nicht etwa „Bei n – Würfen insgesamt eine 6 zu werfen“ sondern „Bei n – Würfen insgesamt mindestens eine 6 zu werfen“. Wir definieren nun das Ereignis E: Bei n – Würfen insgesamt mindestens eine 6 werfen.

Man muss den Würfel mindestens 13 mal werfen um mit einer Sicherheit von mindestens 90% mindestens einmal die 6 zu erhalten. Anders ausgedrückt: Ich darf höchstens in 10 von 100 Fällen bei 12 mal würfeln keine 6 bekommen.

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Der Satz von Bayes ist ein mathematischer Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, der die Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten beschreibt. Er ist nach dem englischen Mathematiker Thomas Bayes benannt, der ihn erstmals in einem Spezialfall in der 1763 posthum veröffentlichten Abhandlung An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances beschrieb. Er wird auch Formel von Bayes oder (als Lehnübersetzung) Bayes-Theorem genannt.

Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für zwei Ereignisse und mit lässt sich die Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung, dass eingetreten ist, durch die Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung, dass eingetreten ist, errechnen:

.

Hierbei ist

die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses unter der Bedingung, dass eingetreten ist,
die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses unter der Bedingung, dass eingetreten ist,
die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses und
die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses .

Bei endlich vielen Ereignissen lautet der Satz von Bayes:

Wenn eine Zerlegung der Ergebnismenge in disjunkte Ereignisse ist, gilt für die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

.

Den letzten Umformungsschritt bezeichnet man auch als Marginalisierung.

Da ein Ereignis und sein Komplement stets eine Zerlegung der Ergebnismenge darstellen, gilt insbesondere

.

Des Weiteren gilt der Satz auch für eine Zerlegung des Grundraumes in abzählbar viele paarweise disjunkte Ereignisse.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz folgt unmittelbar aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

.

Die Beziehung

ist eine Anwendung des Gesetzes der totalen Wahrscheinlichkeit.

Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Bayes erlaubt in gewissem Sinn das Umkehren von Schlussfolgerungen: Man geht von einem bekannten Wert aus, ist aber eigentlich an dem Wert interessiert. Beispielsweise ist es von Interesse, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass jemand eine bestimmte Krankheit hat, wenn ein dafür entwickelter Schnelltest ein positives Ergebnis zeigt. Aus empirischen Studien kennt man in der Regel die Wahrscheinlichkeit dafür, mit der der Test bei einer von dieser Krankheit befallenen Person zu einem positiven Ergebnis führt. Die gewünschte Umrechnung ist nur dann möglich, wenn man die Prävalenz der Krankheit kennt, das heißt die (absolute) Wahrscheinlichkeit, mit der die betreffende Krankheit in der Gesamtpopulation auftritt (siehe Rechenbeispiel 2).

Für das Verständnis kann ein Entscheidungsbaum oder eine Vierfeldertafel helfen. Das Verfahren ist auch als Rückwärtsinduktion bekannt.

Mitunter begegnet man dem Fehlschluss, direkt von auf schließen zu wollen, ohne die A-priori-Wahrscheinlichkeit zu berücksichtigen, beispielsweise indem angenommen wird, die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten müssten ungefähr gleich groß sein (siehe Prävalenzfehler). Wie der Satz von Bayes zeigt, ist das aber nur dann der Fall, wenn auch und ungefähr gleich groß sind.

Ebenso ist zu beachten, dass bedingte Wahrscheinlichkeiten für sich allein nicht dazu geeignet sind, eine bestimmte Kausalbeziehung nachzuweisen.

Anwendungsgebiete[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechenbeispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In den beiden Urnen und befinden sich jeweils zehn Kugeln. In sind sieben rote und drei weiße Kugeln, in eine rote und neun weiße. Es wird nun eine beliebige Kugel aus einer zufällig gewählten Urne gezogen. Anders ausgedrückt: Ob aus Urne oder gezogen wird, ist a priori gleich wahrscheinlich. Das Ergebnis der Ziehung ist: Die Kugel ist rot. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese rote Kugel aus Urne stammt.

Es sei: das Ereignis „Die Kugel stammt aus Urne “,
das Ereignis „Die Kugel stammt aus Urne “ und
das Ereignis „Die Kugel ist rot“.

Dann gilt:   (beide Urnen sind a priori gleich wahrscheinlich)

  (in Urne A sind 10 Kugeln, davon 7 rote)

  (in Urne B sind 10 Kugeln, davon 1 rote)

  (totale Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen)

Damit ist  .

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene rote Kugel aus der Urne gezogen wurde, beträgt also .

Das Ergebnis der Bayes-Formel in diesem einfachen Beispiel kann leicht anschaulich eingesehen werden: Da beide Urnen a priori mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden und sich in beiden Urnen gleich viele Kugeln befinden, haben alle Kugeln – und damit auch alle acht roten Kugeln – die gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden. Wenn man wiederholt eine Kugel aus einer zufälligen Urne zieht und wieder in die richtige Urne zurücklegt, wird man im Durchschnitt in acht von 20 Fällen eine rote und in zwölf von 20 Fällen eine weiße Kugel ziehen (deshalb ist auch die totale Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, gleich ). Von diesen acht roten Kugeln kommen im Mittel sieben aus Urne und eine aus Urne . Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gezogene rote Kugel aus Urne stammt, ist daher gleich .

Rechenbeispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine bestimmte Krankheit tritt mit einer Prävalenz von 20 pro 100 000 Personen auf. Der Sachverhalt , dass ein Mensch diese Krankheit in sich trägt, hat also die Wahrscheinlichkeit .

Ist ein Screening der Gesamtbevölkerung ohne Rücksicht auf Risikofaktoren oder Symptome geeignet, Träger dieser Krankheit zu ermitteln? Es würden dabei weit überwiegend Personen aus dem Komplement von getestet, also Personen, die diese Krankheit nicht in sich tragen: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zu testende Person nicht Träger der Krankheit ist, beträgt .

bezeichne die Tatsache, dass der Test bei einer Person „positiv“ ausgefallen ist, also die Krankheit anzeigt. Es sei bekannt, dass der Test mit 95 % Wahrscheinlichkeit anzeigt (Sensitivität), aber manchmal auch bei Gesunden anspricht, d.h. ein falsch positives Testergebnis liefert, und zwar mit einer Wahrscheinlichkeit von (Spezifität).

Nicht nur für die Eingangsfrage, sondern in jedem Einzelfall , insbesondere vor dem Ergebnis weiterer Untersuchungen, interessiert die positiver prädiktiver Wert genannte bedingte Wahrscheinlichkeit , dass positiv Getestete Träger der Krankheit sind.

Berechnung mit dem Satz von Bayes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

.

Berechnung mittels Baumdiagramm[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Probleme mit wenigen Klassen und einfachen Verteilungen lassen sich übersichtlich im Baumdiagramm für die Aufteilung der Häufigkeiten darstellen. Geht man von den Häufigkeiten auf relative Häufigkeiten bzw. auf (bedingte) Wahrscheinlichkeiten über, wird aus dem Baumdiagramm ein Ereignisbaum, ein Sonderfall des Entscheidungsbaums.

Den obigen Angaben folgend ergeben sich als absolute Häufigkeit bei 100 000 Personen 20 tatsächlich erkrankte Personen, 99 980 Personen sind gesund. Der Test diagnostiziert bei den 20 kranken Personen in 19 Fällen (95 Prozent Sensitivität) korrekt die Erkrankung. In einem Fall versagt der Test und zeigt die vorliegende Krankheit nicht an (falsch negativ). Bei wahrscheinlich 1000 der 99 980 gesunden Personen zeigt der Test fälschlicherweise eine Erkrankung an. Von den insgesamt 1019 positiv getesteten Personen sind also nur 19 tatsächlich krank (

Illustration des Satzes von Bayes durch Überlagerung der beiden ihm zugrundeliegenden Entscheidungsbäume bzw. Baumdiagramme
Der Wahrscheinlichkeitsbaum illustriert .
Ereignisbaum zum Beispiel

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